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“在一棵树上进行路径的修改、求极值、求和”乍一看只要线段树就能轻松解决，实际上，仅凭线段树是不能搞定它的。我们需要用到一种貌似高级的复杂算法——树链剖分。
树链，就是树上的路径。剖分，就是把路径分类为重链和轻链。 记siz[v]表示以v为根的子树的节点数，dep[v]表示v的深度(根深度为1)，top[v]表示v所在的重链的顶端节点，fa[v]表示v的父亲，son[v]表示与v在同一重链上的v的儿子节点（姑且称为重儿子），w[v]表示v与其父亲节点的连边（姑且称为v的父边）在线段树中的位置。只要把这些东西求出来，就能用logn的时间完成原问题中的操作。 重儿子：siz[u]为v的子节点中siz值最大的，那么u就是v的重儿子。 轻儿子：v的其它子节点。 重边：点v与其重儿子的连边。 轻边：点v与其轻儿子的连边。 重链：由重边连成的路径。 轻链：轻边。 剖分后的树有如下性质： 性质1：如果(v,u)为轻边，则siz[u] * 2 < siz[v]； 性质2：从根到某一点的路径上轻链、重链的个数都不大于logn。 算法实现： 我们可以用两个dfs来求出fa、dep、siz、son、top、w。 dfs_1：把fa、dep、siz、son求出来，比较简单，略过。
dfs_2：⒈对于v，当son[v]存在（即v不是叶子节点）时，显然有top[son[v]] = top[v]。线段树中，v的重边应当在v的父边的后面，记w[son[v]] = totw+1，totw表示最后加入的一条边在线段树中的位置。此时，为了使一条重链各边在线段树中连续分布，应当进行dfs_2(son[v])；
⒉对于v的各个轻儿子u，显然有top[u] = u，并且w[u] = totw+1，进行dfs_2过程。 这就求出了top和w。 将树中各边的权值在线段树中更新，建链和建线段树的过程就完成了。 修改操作：例如将u到v的路径上每条边的权值都加上某值x。 一般人需要先求LCA，然后慢慢修改u、v到公共祖先的边。而高手就不需要了。 记f1 = top[u]，f2 = top[v]。 当f1 <> f2时：不妨设dep[f1] >= dep[f2]，那么就更新u到f1的父边的权值(logn)，并使u = fa[f1]。 当f1 = f2时：u与v在同一条重链上，若u与v不是同一点，就更新u到v路径上的边的权值(logn)，否则修改完成； 重复上述过程，直到修改完成。 求和、求极值操作：类似修改操作，但是不更新边权，而是对其求和、求极值。 就这样，原问题就解决了。鉴于鄙人语言表达能力有限，咱画图来看看： 如右图所示，较粗的为重边，较细的为轻边。节点编号旁边有个红色点的表明该节点是其所在链的顶端节点。边旁的蓝色数字表示该边在线段树中的位置。图中1-4-9-13-14为一条重链。 当要修改11到10的路径时。 第一次迭代：u = 11，v = 10，f1 = 2，f2 = 10。此时dep[f1] < dep[f2]，因此修改线段树中的5号点，v = 4, f2 = 1； 第二次迭代：dep[f1] > dep[f2]，修改线段树中10--11号点。u = 2，f1 = 2； 第三次迭代：dep[f1] > dep[f2]，修改线段树中9号点。u = 1，f1 = 1； 第四次迭代：f1 = f2且u = v，修改结束。**数据规模大时，递归可能会爆栈，而非递归dfs会很麻烦，所以可将两个dfs改为宽搜+循环。即先宽搜求出fa、dep，然后逆序循环求出siz、son，再顺序循环求出top和w。1 const int maxn 50005; 2 struct Edge 3 { 4 int v; 5 int next; 6 }edge[maxn*2]; 7 int head[maxn]; 8 int num[maxn]; 9 int tot;10 11 int pos;12 int sz[maxn];13 int fa[maxn];14 int deep[maxn];15 int son[maxn];16 int top[maxn];17 int id[maxn];18 19 void dfs1(int u,int father,int d)20 {21 int p,v;22 deep[u]=d;23 fa[u]=father;24 sz[u]=1;25 for(p=head[u];p!=0;p=edge[p].next)26 {27 v=edge[p].v;28 if(v!=father)29 {30 dfs(v,u,d+1);31 sz[u]+=sz[v];32 if(sz[v]>sz[son[u]])33 son[u]=v;34 }35 }36 }37 void dfs2(int u,int top0)38 {39 int p;40 int v;41 top[u]=top0;42 id[u]=pos++;43 if(son[u]==0)44 return;45 dfs2(son[u],top0);46 for(p=head[u];p!=0;p=edge[p].next)47 {48 v=edge[p].v;49 if(v!=son[u]&&v!=fa[u])50 dfs2(v,v);51 }52 }